Question

如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°．将一个60°的∠PCQ的顶点放在点C处，并绕点C旋转，当CP与AB交于点M

如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°．将一个60°的∠PCQ的顶点放在点C处，并绕点C旋转，当CP与AB交于点M，CQ同时与AD交于点N时．（1）判断△CMN的形状，并说明理由；（2）试探究△AMN的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AMN的周长的最小值．

Answer 1

解：（1）△CMN是等边三角形，
理由：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠1=∠2=

1

2

∠BAD，AD∥BC，AB=BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
在△ANC和△BMC中，

AN＝BM ∠B＝∠2 AC＝BC

，
∴△ANC≌△BMC（SAS），
∴NC=MC，∠4=∠3，
∵AD∥CB，
∴∠4+∠5=∠2=60°，
∴∠3+∠5=60°，
∴△CMN是等边三角形；

（2）△AMN的周长有最小值，
理由：当CM⊥AB时CM最短，由△CMN是等边三角形，
∴MN也是最短的．
CM是边长为2等边△ABC的高，
∴CM=

3

，MN=

3

，
所以AM+AN+MN=2+

3

．
∴△AMN周长的最小值为：2+

3

．