Question

已知函数f（x）=a（x- ）-lnx，（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函

已知函数f（x）=a（x- ）-lnx，（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数 ，若在[1，e]上至少存在一点x 0 ，使得f（x 0 ）≥g（x 0 ）成立，求实数a的取值范围。

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Answer 1

解：（Ⅰ）当a=1时，函数 ， f（1）=1-1-ln1=0， f′（x）= ， 曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）=1+1-1=1， 从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=x-1，即y=x-1； （Ⅱ）f′（x）= ， 要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需f′（x）≥0在（0，+∞）内恒成立， 即ax 2 -x+a≥0，得 恒成立， 由于 ， ∴ ，∴ ， ∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，实数a的取值范围是 ； （Ⅲ）∵在[1，e]上是减函数， ∴x=e时，g（x） min =1；x=1时，g（x） max =e，即 g（x）∈[1，e]， f′（x）= ，令h（x）=ax 2 -x+a， 当 时，由（Ⅱ）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜1， 又g（x）在[1，e]上是减函数， 故只需f（x） max ≥g（x） min ，x∈[1，e]， 而 ，g（x） min =1， 即 ，解得 ， 所以实数a的取值范围是 。