（2013?宁波二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D，E
（2013?宁波二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D，E分别为CC1与A1B的中点，点E在平面AB...
（2013?宁波二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D，E分别为CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心（Ⅰ）求证：DE∥平面ACB；（Ⅱ）求A1B与平面ABD所成角的正弦值．
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（Ⅰ）证明：如图，取AB中点F，连接EF，FC，
又因为E为A1B的中点，
所以EF∥A1A，EF＝
A1A，
又DC∥A1A，DC＝
A1A
所以四边形DEFC为平行四边形
则ED∥CF，因为ED?平面ABC，FC?平面ABC，
所以ED∥平面ABC；
（Ⅱ）解：过E作EH⊥DF于H，连结HB，
由CC1⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以CC1⊥AB，
由AC=BC，AF=FB，所以AB⊥CF，
又CF∩CD=C，CF，CD?平面DEFC，
所以AB⊥平面DEFC，EH?平面DEFC，所以AB⊥EH，
又EH⊥DF，DF∩AB=F，AB，DF?平面ABD，所以EH⊥平面ABD，
所以∠EBH为A1B与平面ABD所成角的平面角，
因为H为△ABD的重心，在Rt△DEF中，EF2＝FH?FD＝
FD2＝1
所以得FD＝
，HF＝
，EH＝
，CF＝
，FB＝
，EB＝
，
得sin∠EBH＝
＝
又因为E为A1B的中点，
所以EF∥A1A，EF＝
| 1 |
| 2 |
又DC∥A1A，DC＝
| 1 |
| 2 |
所以四边形DEFC为平行四边形
则ED∥CF，因为ED?平面ABC，FC?平面ABC，
所以ED∥平面ABC；
（Ⅱ）解：过E作EH⊥DF于H，连结HB，
由CC1⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以CC1⊥AB，
由AC=BC，AF=FB，所以AB⊥CF，
又CF∩CD=C，CF，CD?平面DEFC，
所以AB⊥平面DEFC，EH?平面DEFC，所以AB⊥EH，
又EH⊥DF，DF∩AB=F，AB，DF?平面ABD，所以EH⊥平面ABD，
所以∠EBH为A1B与平面ABD所成角的平面角，
因为H为△ABD的重心，在Rt△DEF中，EF2＝FH?FD＝
| 1 |
| 3 |
所以得FD＝
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
得sin∠EBH＝
| EH |
| EB |
|
