Question

请教数学大神:奇函数f(x)=|x-a^2|-a^2(x>0)恒有f(x+1)≥f(x),求a的范围

请给出具体的解题过程。谢谢

Answer 1

f(x)=|x-a^2|-a^2(x>0)

f(x)=x-2a^2   x>=a^2

f(x)=-x      x<a^2

f(x+1)是由f(x)向左移动1得到的。

画图如下：

看上图，当x在于f(x)与f(x+1)的交点右边时，f(x+1)>=f(x)恒成立。

即：|x-a^2|-a^2=|x+1-a^2|-a^2

x-a^2=x+1-a^2    or      x-a^2=a^2-x-1

1=0 （舍去） or  2x=2a^2-1      x=a^2-1/2

如是，当x>=a^2-1/2时，f(x+1)>>=f(x)

而x>0 即x的最小值趋于0,要使x>=a^2-1/2恒成立，必须a^2-1/2小于x的最小值

即：a^2-1/2<=0

aE[-根2/2,根2/2]