Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b?12c＝a?cosC（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）设a=2，求△ABC的面积

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b?12c＝a?cosC（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）设a=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由正弦定理得sinB-

1

2

sinC=sinAcosC，即sin（A+C）-

1

2

sinC=sinAcosC，
∴sinCcosA-

1

2

sinC=0，
∵sinC≠0，∴cosA=

1

2

，
∵A为内角，∴A=

π

3

；
（Ⅱ）由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
当且仅当b=c=2时，bc有最大值4，
∴△ABC的面积的最大值S=

1

2

bcsinA=

3

．