Question

若x^2-3x+1=0，则x^2/x^4+x^2+1的值为多少

Answer 1

解：
x²-3x+1=0
等式两边同除以x
x -3 +1/x=0
x+ 1/x=3
x²/(x⁴+x²+1)
=1/(x² +1+ 1/x²) (分子分母同除以x²)
=1/(x²+ 1/x² +2 -1)
=1/[(x +1/x)² -1] (配方，构造x+ 1/x)
=1/(3²-1)
=1/8
总结：
1、本题考察的是不求x，利用恒等变形求分式的值。
2、已知x +1/x，还可以求得x²+1/x²、x³+1/x³、x⁴+1/x⁴、x-1/x，x³-1/x³、……等等分式的值。

Answer 2

x^2-3x+1=0
x^2=3x-1

x^2/(x^4+x^2+1)
=(3x-1)/[(3x-1)^2+(3x-1)+1]
=(3x-1)/(9x^2-3x+1)
=(3x-1)/(9(3x-1)-3x+1)
=(3x-1)/(24x-8)
=1/8

Answer 3

解：
x²-3x+1=0
等式两边同除以x
x -3 +1/x=0
x+ 1/x=3

x²/(x⁴+x²+1)
=1/(x² +1+ 1/x²) (分子分母同除以x²)
=1/(x²+ 1/x² +2 -1)
=1/[(x +1/x)² -1] (配方，构造x+ 1/x)
=1/(3²-1)
=1/8

总结：
1、本题考察的是不求x，利用恒等变形求分式的值。
2、已知x +1/x，还可以求得x²+1/x²、x³+1/x³、x⁴+1/x⁴、x-1/x，x³-1/x³、……等等分式的值。