Question

请证明当k属于(0.5,1]时，(k-1)e^k-k^3>-1

Answer 1

(1)不等号有错，
k=1时，两边相等，
所以，改成(0.5，1)开区间为好。
(2)不等式等价于
(k-1)e^k＞k^3-1
e^k＜k^2+k+1
下面证明这个不等式
设f(x)=e^x-(x^2+x+1)
f '(x)= e^x-2x-1=g(x)
其中，g'(x)=e^x-2
g'(x)=0，解得，x=ln2
0.5＜x＜ln2时， g'(x)＜0
∴g(x)递减，
∴g(x)＜g(0.5)=√e-2＜0
x＞ln2时， g'(x)＞0
∴g(x)递增，
∴g(x)＜g(1)=e-3＜0
∴ g(x)＜0在(0.5，1)内始终成立
∴f(x) 在(0.5，1)内单调递减，
∴f(x)＜f(0.5)=√e-1.75＜0
∴ e^k＜k^2+k+1，得证。