Question

极值存在的第一充分条件有充分条件不是必要条件，可以举一个反例么？ 标五角星的这句话～

极值存在的第一充分条件有充分条件不是必要条件，可以举一个反例么？
标五角星的这句话～

Answer 1

常数函数是简单的反例，但不够好，因为事实上即使把严格不等号换成不严格的不等号结论也不对。

考虑f(x)=x*sin(1/x)，f(0)=0。

显然f^2是非负函数，x=0是f^2的一个极小值点，x≠0的时候f^2是可导的。

但在0的附近f(x)反复改变符号，所以f^2也反复改变单调性，没有单调的小邻域。

扩展资料：

极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。

如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。

函 数在其整个定义域内可能有许多极大值或极小值，而且某个极大值不 一定大于某个极小值。函数的极值通过其一阶和二阶导数来确定。

对于一元可微函数f (x)，它在某点x0有极值的充分必要条件是f(x)在x0的某邻域上一阶可导，在x0处二阶可导，且f'(X0)=0，f"(x0)≠0

参考资料来源：百度百科--极值

Answer 2

比如这样

是不是有点无语，，我也是

追问

左右导都是0啊？

追答

不好意思没看完前面的要求

Answer 3

常数函数是简单的反例，但不够好，因为事实上即使把严格不等号换成不严格的不等号结论也不对

考虑f(x)=x*sin(1/x), f(0)=0
显然f^2是非负函数，x=0是f^2的一个极小值点，x≠0的时候f^2是可导的
但在0的附近f(x)反复改变符号，所以f^2也反复改变单调性，没有单调的小邻域

Answer 4

只有满足下面的两个条件，才能推出极值存在，但是极值存在不一定能满足那两个条件！

Answer 5

找一个分段函数，例子：y= ①-x+1（x＞0）②-x（x≤0）就在x=0处取极值，而不需要f导在0左右变号