Question

设G是群，a,b属于G，证明：|ab|=|ba|

Answer 1

还需要证明n是满足条件的最小值；假设存在m(m<n)使(ba)^m=e,那么(ba)(ba)(ba)...(ba)（m个）=b(ab)(ab)(ab)..(ab)(m-1个)a=e,两边分别左运算b^-1和右运算a^-1，则(ab)^(m-1)=(b^-1)*(a^-1)=(ab)^-1（由公式可知(b^-1)*(a^-1)=(ab)^-1）,因为(ab)*(ab^-1)=e，所以((ab)^(m-1))*(ab)=e,所以(ab)^m=e,由于(ab)^n=e,n>m,矛盾，所以|ab|=n;

Answer 2

设|ab|=n，那么ababababab...(n个)=e，两边同时左运算a的逆元，再右运算a，得a(-1)(abababab...)a=a(-1)ea,由结合律，(a(-1)a)(babababa...)(n个ba)=a(-1)ea,化简得（bababbaba...）(n个)=e，所以|ba|=n=|ab|

Answer 3

分三种情况

追问

哪三种？

追答

a.b相交，相离，相等