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z为复数.建立恒等式1+z+z^2+z^3+···+z^n=[1-z^(n+1)]/(1-z)(z
z为复数.建立恒等式1+z+z^2+z^3+···+z^n=[1-z^(n+1)]/(1-z)(z不等于1)并导出:1+cosθ+cos2θ+cos3θ+···+cosn...
z为复数.建立恒等式1+z+z^2+z^3+···+z^n=[1-z^(n+1)]/(1-z)(z不等于1)并导出:1+cosθ+cos2θ+cos3θ+···+cosnθ=1/2+sin(n+1/2)θ/2sin(θ/2)
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1个回答
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证明:设z=cosθ+isinθ=e^(iθ),则∑z^k=∑e^(ikθ)=[1-e^(inθ+iθ)]/[1-e^(iθ)]=(1+cosθ+cos2θ+cos3θ+···+cosnθ)+i(1+sinθ+sin2θ+sin3θ+···+sinnθ)(k=0,1,2,……,n)。而[1-e^(inθ+iθ)]/(1-e^(iθ))=[1-e^(inθ+iθ)][1-e^(-iθ)]/{[1-e^(iθ)][1-e^(-iθ)]}=[1-e^(-iθ)-e^(inθ+iθ)+e^(inθ)]/(2-2cosθ),比较实部、虚部,可得(1+cosθ+cos2θ+cos3θ+···+cosnθ)=[1-cosθ-cos(n+1)θ+cosnθ]/(2-2cosθ)=1/2+[sin(n+1/2)θ/2]/sin(θ/2)。供参考。
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