Question

高等数学证明是否连续？是否可导？

Answer 1

可导，所以连续。
【可导的证明】
lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0)
=lim(x→0)f(x)/x
=lim(x→0)x·sin(1/x)
=0
【无穷小×有界函数=无穷小】
∴函数在x=0可导

Answer 2

您好！
利用连续性定义，很容易看到，该函数在x=0处是连续的；
同样利用导数定义，可以判定该函数在x=0出是可导的。
题目不难，建议您尝试根据上述思路自己写下，必要的话，可以粘贴出来您的过程，方便更好的解答。
希望可以帮到您！

Answer 3

在 x不等于0时
f '(x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x)
在 x=0，
f '(0) = lim(h-->0) [f(0 + h) - f(0)] / h
= lim(h-->0) [h^2 sin(1/h) - 0] / h
= lim(h-->0) h sin(1/h)

当h ≠ 0时，|sin(1/h)| <= 1

则 |h sin(1/h)| <= |h|
lim(h-->0) |h| = 0
f '(0) = lim(h-->0) h sin(1/h) <=lim(h-->0) |h| = 0

则可导

证连续性 则需要证明 lim(x-->0) f '(x) = f '(0) = 0
因x不等于0时
f '(x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x)
其极限不为0

则不连续

Answer 4

lim(x→0)f(x)
=lim(x→0)x²sin(1/x)
=0=f(0),连续
（x²无穷小，sin(1/x)是有界变量）
f'(0)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/x
=lim(x→0)xsin(1/x)
=0，存在
在x=0处可导

Answer 5

可导必连续，要证可导，先要证连续，过程如图

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