Question

高数定积分计算

高数定积分计算请写出计算过程

Answer 1

　　解：分享一种解法。设t=x-1，∴原式=(2π)∫(-1,1)(1-t)[√(1-t^2)-t-1]dt。
　　而∫(-1,1)(1-t)[√(1-t^2)-t-1]dt=∫(-1,1)(1-t)[√(1-t^2)]dt-∫(-1,1)(1-t)(t+1)dt，
　　又，∫(-1,1)(1-t)[√(1-t^2)]dt=∫(-1,1)[√(1-t^2)]dt-∫(-1,1)t[√(1-t^2)]dt，前者按定积分的几何意义，有∫(-1,1)[√(1-t^2)]dt=π/2、后者被积函数在积分区间是奇函数，其值为0，∫(-1,1)(1-t)(t+1)dt=2∫(0,1)(1-t^2)dt=4/3，
　　∴原式=(2π)(π/2-4/3)。
　　供参考。

追问

追答

　　不好意思，是有错漏。原式=(2π)∫(0,1)(2-x)√(2x-x^2)dx-(2π)∫(0,1)(2-x)xdx。
　　而后者，∫(0,1)(2-x)xdx=∫(0,1)(2x-x^2)dx=2/3，
　　对前者，∫(0,1)(2-x)√(2x-x^2)dx，设x=1-sint，dx=-costdt，
　　∫(0,1)(2-x)√(2x-x^2)dx=∫(0,π/2)(1+sint)(cost)^2dt=[t/2+(1/4)sin2t-(1/3)(cost)^3丨(t=0,π/2)=π/4+1/3，
　　∴原式=(2π)(π/4+1/3-2/3)=(2π)(π/4-1/3)。
　　供参考。