Question

求不定积分(√a^2-x^2)/x^4

求不定积分(√a^2-x^2)/x^4设x＝t分之1的方法

Answer 1

设x=1/t. dx=-1/t^2dt
带入
=∫(√a^2-(1/t)^2)/(1/t)^4*(-1)/t^2dt
=∫-(√(at)^2-1)dt
不好做！用三角代换吧！
令x=asecu,则√(x²-a²)=atanu,dx=asecutanudu
∫ √(x²-a²)/x⁴dx
=∫ [atanu/(asecu)⁴](asecutanu) du
=(1/a²)∫ tan²u/sec³u du
=(1/a²)∫ sin²ucosu du
=(1/a²)∫ sin²u d(sinu)
=(1/a²)(1/3)sin³u + C
=(1/a²)(1/3)[√(x²-a²)/x]³ + C

追问

倒数第二不部的三分之一是怎么出来的啊？

追答

没有1/3啊

(1/a²)∫ sin²u d(sinu)
你说这个？
将sinu看成整体，凑微分。好比u^2求积分。

追问

懂了 谢谢大神

Answer 2

(a^2-x^2)^(1/2)在[0,a]上的定积分在几何上表示圆x^2
y^2=a^2在第一象限部分的面积，所以积分的结果是πa^2/4

Answer 3

详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问