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设x=1/t. dx=-1/t^2dt
带入
=∫(√a^2-(1/t)^2)/(1/t)^4*(-1)/t^2dt
=∫-(√(at)^2-1)dt
不好做!用三角代换吧!
令x=asecu,则√(x²-a²)=atanu,dx=asecutanudu
∫ √(x²-a²)/x⁴dx
=∫ [atanu/(asecu)⁴](asecutanu) du
=(1/a²)∫ tan²u/sec³u du
=(1/a²)∫ sin²ucosu du
=(1/a²)∫ sin²u d(sinu)
=(1/a²)(1/3)sin³u + C
=(1/a²)(1/3)[√(x²-a²)/x]³ + C
带入
=∫(√a^2-(1/t)^2)/(1/t)^4*(-1)/t^2dt
=∫-(√(at)^2-1)dt
不好做!用三角代换吧!
令x=asecu,则√(x²-a²)=atanu,dx=asecutanudu
∫ √(x²-a²)/x⁴dx
=∫ [atanu/(asecu)⁴](asecutanu) du
=(1/a²)∫ tan²u/sec³u du
=(1/a²)∫ sin²ucosu du
=(1/a²)∫ sin²u d(sinu)
=(1/a²)(1/3)sin³u + C
=(1/a²)(1/3)[√(x²-a²)/x]³ + C
更多追问追答
追问
倒数第二不部的三分之一是怎么出来的啊?
追答
没有1/3啊
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(a^2-x^2)^(1/2)在[0,a]上的定积分在几何上表示圆x^2
y^2=a^2在第一象限部分的面积,所以积分的结果是πa^2/4
y^2=a^2在第一象限部分的面积,所以积分的结果是πa^2/4
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