Question

大神帮看看这题怎么求极限

大神帮看看这题怎么求极限第三题怎么做啊啊啊.谢谢了

Answer 1

首先，求出f（x，y）在（0，0）的极限，证明连续；然后，将函数在原点处的两个一阶偏导数求出来；最后根据全微分的定义，证明
lim
ρ→0
△z−fx′(0，0)△x−fx′(0，0)△y
(△x)2+(△y)2
不存在即可 ． 解答
证明：设x=rcosθ，y=rsinθ，则
lim(x,y)→(0,0)f(x，y)=limr→0r3cosθsinθr2=limr→0rsinθcosθ，
而sinθcosθ是有界函数
∴lim(x,y)→(0,0)f(x,y)=0=f(0,0)
故f(x,y)在(0,0)连续
又f′x(0，0)=lim△x→0f(△x,0)−f(0,0)△x=lim△x→00△x=0，
f′y(0，0)=lim△y→0f(0,△y)−f(0,0)△y=lim△y→00△y=0，
而f(x,y)在(0,0)处的全增量为
△f(0,0)=△x2△y△x2△y2
∴△f(0,0)−(f′x(0,0)△xf′y(0,0)△y)=△x2△y△x2△y2
∴limρ→0△f(0,0)−(f′x(0,0)△xf′y(0,0)△y)△x2△y2−−−−−−−√=limρ→0△x2△y(△x2△y2)32
=limr→0r3cosθsinθr3=limr→0cosθsinθ不存在
故f(x,y)在(0,0)不可微

Answer 2

首先判断f（x，y）在（0，0）点是否连续；再判断f（x，y）在（0，0)点的偏导数是否存在；最后判断其可微性.

A