Question

如下图，在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN垂直DM，且交∠CBE的平分线于N

Answer 1

先说第一问吧
首先过N作AB延长线的垂线，交AE于Q
因为角DMN是直角所以角ADM=角NMQ
所以三角形DAM
和
MNQ相似
又因为BN是角平分线，所以角NBQ=BNQ=45°
所以NQ=BQ而AM:AD=1:2所以NQ:MQ=1：2由此可知B为MQ的中点
所以ME=AD

Answer 2

证明：（1）取AD的中点H，连接HM．
在△DHM和△MBN中，
∵四边形ABCD是正方形，M为AB的中点，
∴BM=HD，
∵AM=AH，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴∠DHM=135°，
而BN是∠CBE的平分线．
∴∠MBN=135°，
∴∠DHM=∠MBN，
又∵DM⊥MN，
∴∠NMB+∠AMD=90°，
又∵∠HDM+∠AMD=90°，
∴∠BMN=∠HDM，
∴△DHM≌△MBN，
∴DM=MN；
（2）DM=MN仍成立．
在AD上取一点H，使DH=MB，连接HM．
∵四边形ABCD是正方形，BN平分∠CBE，DM⊥MN，
∴∠DHM=∠MBN=135°，
∠BMN+∠AMD=90°，∠HDM+∠AMD=90度，
∴∠BMN=∠HDM，
∴△DHM≌△MBN，
∴DM=MN．
若点M在AB的延长线上，
则在AD延长线上取点H，使DH=BM，连接HM．
同理可证：△DHM≌△MBN，
∴DM=MN．