Question

已知fx=x^2+bx+c为偶函数,曲线y=fx过点(2.5),gx=(x+a)f(x)

Answer 1

f(x)为偶函数，则f(x)=f(-x)，易得b=0
f(x)过点（2，5）则，f(2)=2＾2＋c=5,c=1.
故f(x)=x^2+1
y=g(x)=(x+a)f(x)=(x+a)(x^2+1)
则y=g(x)的导数＝2x(x+a)+x^2+1
y=g(x)有斜率为0的切线，说明y=g(x)的导数可以取到0值，
即2x(x+a)+x^2+1＝0有实根
整理3x^2+2ax+1=0
根的判别式4a^2-12>=0,解之得a>=根号3或a<=-根号3
当x=-1时y=g(x)取极值，说明x=-1时，导数为0，
代入，可得3－2a+1=0,可知a=2
y=g(x)=(x+2)f(x)=x^3+2x^2+x+2
g(x)导数为3x^2+4x+1，3x^2+4x+1＝0有两个根-1,-1/3
当x>=-1/3,或者x<=-1时，导数＞＝0，为增函数
当x>-1且x<-1/3时，导数＜0，为减函数

Answer 2

f(-x)=x²-bx+c=x²+bx+c
∴b=0
将(2,5)代入:
5=4+c→c=1
f(x)=x²+1
g(x)=(x+a)(x²+1)
g'(x)=3x²+2ax+1,存在驻点
4a²≥12→
a≥√3∪a≤-√3
(2)g'(1)=3+2a+1=0→a=-2
∴g(x)=x³-2x²+x-2
令h(x)=g(x)+2m=x³-2x²+x-2+2m
h'(x)=3x²-4x+1
驻点：x₁=1/3，x₂=1
h(1/3)是极大值，h(1)是极小值
当h(1/3)<0或h(1)>0时，只有一根（可以画个三次函数的示意图，便于理解）
h(1/3)=-50/27+2m<0→m<25/27
h(1)=-2+2m>0→m>1