Question

设函数f(x)=x^3+2ax^2+bx+a,g(x)=x^2-3x+2,其中x∈R，a、b为常数.已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）

设函数f(x)=x^3+2ax^2+bx+a,g(x)=x^2-3x+2,其中x∈R，a、b为常数.已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）
问题一：求a，b的值，并写出切线L的方程；
问题二：若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实数根0，x1，x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x-1）恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

题目没说得很清楚，切线L是指f(x)与g(x)在点(2,0)处的共同切线吧。这样才可解：
（1）对两函数进行求导：f'(x)=3x^2+4ax+b,g(x)=2x-3，它们在点（2，0）处有共同切线L，所以：f'(2)=12+8a+b=g'(2)=1。另外，把点（2，0）代入f(x)方程得：8+9a+2b=0。两式联立可求：a=-2，b=5。由上述分析知：直线L斜率k=1，过点（2，0），所以方程为：y=x-2。
（2）由（1）知，f(x)=x^3-4x^2+5x-2，则f(x)+g(x)=x^3-3x^2+2x=mx，即：x(x^2-3x+2-m)=0
由题意，方程x^2-3x+2-m=0有两个不等实数根x1，x2。所以：Delta=(-3)^2-4(2-m)>0，解得：m>-1/4。接下来，由f(x)+g(x)<m(x-1)得：x(x-1)(x-2)<m(x-1)，即(x-1)(x^2-2x-m)<0。由上述分析，h(x)=x^2-3x+2-m=0对称轴为x=3/2，可知x2>1。当x2>x1>1时，区间的任意x>1，所以x^2-2x-m<0，设t(x)=x^2-2x-m=0两个根为x3,x4(x3<x4)，它的对称轴为x=1<x1<x2，t(x)<0对x∈[x1，x2]恒成立，则x4>x2，即[2+根号(4m+4)]/2>[3+根号(4m+1)]/2解得：m<0。当x2>1>x1时，x∈[x1，x2]可以大于1也可小于1，可知，当x1<=x<1时，x-1<0,因为1是t(x)的对称轴，必有一点x在离1足够近时使t(x)<0，这时：(x-1)t(x)>0与题设矛盾（不能恒成立）。所以第二种情况不存在。
综上：-1/4<m<0。

Answer 2

0分 不答

Answer 3

解：(I) ，由于曲线曲线 与 在点（2,0）处有相同的切线，故有 ，由此解得： ；切线 的方程： ‘
(II)由(I)得 ，依题意得：方程 有三个互不相等的根
，故 是方程 的两个相异实根，所以 ；又对任意的 ， 恒成立，特别地，取 时， 成立，即 ，由韦达定理知： ，故 ，对任意的 ，有 ，则： ；又
所以函数在 上的最大值为0，于是当 时对任意的 ， 恒成立；综上： 的取值范围是 。