Question

若f(x)在[a,b]上连续，a<x1<x2<…<xn<b,则在[x1,x2]上必有m,使f(x)

Answer 1

取F(x)=nf(x)-(f(x1)+f(x2)+……f(xn))
f(X)在(a.b)上连续
(1)
当f(x)为常数时
任意的c属于[x1.xn]
该结论都成立
(2)
当f(x)不为常数时
f(x)在[x1.xn]上连续，由闭区间上的连续函数闭有最值
存在
f(p)=m<f(x)
f(q)=M>f(x)
F(p)=nf(p)-(f(x1)+f(x2)+……f(xn))=nm-(f(x1)+f(x2)+……f(xn))必定小于0
F(q)=nf(q)-(f(x1)+f(x2)+……f(xn))=nM-(f(x1)+f(x2)+……f(xn))必定大于0
由零点定理可知道
必定存在m
在
[x1.xn]
使
F(c)=0
综上所述
必定有m
使F(c)=0
即证明