设A,B均为n阶可逆矩阵,求证:(AB)^*=B*A*
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证明:
因为A,B可逆,
故
A^-1,B^-1
存在,
AB
可逆,
且有
A*
=
|A|A^-1,
B*
=
|B|B^-1.
故
(AB)*
=
|AB|(AB)^-1
=
|A||B|B^-1A^-1
=
(|B|B^-1)(|A|A^-1)
=
B*A*.
因为A,B可逆,
故
A^-1,B^-1
存在,
AB
可逆,
且有
A*
=
|A|A^-1,
B*
=
|B|B^-1.
故
(AB)*
=
|AB|(AB)^-1
=
|A||B|B^-1A^-1
=
(|B|B^-1)(|A|A^-1)
=
B*A*.
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