Question

已知f（x）=x|x-a|+b，x∈R．（1）当a=1，b=0时，判断f（x）的...

已知f（x）=x|x-a|+b，x∈R． （1）当a=1，b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由； （2）当a=1，b=1时，若f(2x)=54，求x的值； （3）若b＜0，且对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

[解]（1）当a=1，b=0时，f（x）=x|x-1|既不是奇函数也不是偶函数．…（2分）
∵f（-1）=-2，f（1）=0，
∴f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1）
所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．…（2分）
（2）当a=1，b=1时，f（x）=x|x-1|+1，
由f（2x）=54得2x|2x-1|+1=54…（2分）
即2x≥1(2x)2-2x-14=0或2x＜1(2x)2-2x+14=0…（2分）
解得2x=1+22或2x=1-22（舍），或2x=12，
所以x=log21+22=log2(1+2)-1或x=-1． …（2分）
（3）当x=0时，a取任意实数，不等式f（x）＜0恒成立，
故只需考虑x∈（0，1]，此时原不等式变为|x-a|＜-bx
即x+bx＜a＜x-bx…（2分）
故(x+bx)max＜a＜(x-bx)min，x∈（0，1]
又函数g（x）=x+bx在（0，1]上单调递增，所以(x+bx)max=g（1）=1+b；
对于函数h（x）=x-bx，x∈（0，1]
①当b＜-1时，在（0，1]上h（x）单调递减，(x-bx)min=h（1）=1-b，又1-b＞1+b，
所以，此时a的取值范围是（1+b，1-b）． …（2分）
②当-1≤b＜0，在（0，1]上，h（x）=x-bx≥2-b，
当x=-b时，(x-bx)min=2-b，此时要使a存在，
必须有1+b＜2-b-1≤b＜0即-1≤b＜22-3，此时a的取值范围是（1+b，2-b）
综上，当b＜-1时，a的取值范围是（1+b，1-b）；
当-1≤b＜22-3时，a的取值范围是（1+b，2-b）；
当22-3≤b＜0时，a的取值范围是∅． …（2分）