Question

讨论函数f(x)=ax/x²+1（a∈R，且a≠0）在区间（-1,1）上的单调性。求详细解答

Answer 1

你学了偶函数或者导数没有
追问：
自学
不知道怎么解
回答：
导数法：该函数导数等于（分子的导数乘以分母-分母的导数乘以分子）/分母的平方，用字母表示是：(u/v)'=(u'v-uv')/v²，故整理该公式得该函数导数为(aX^2+a-2aX^2)/(X^2+1)^2=(a-aX^2)/(X^2+1)^2,当a>0时该导数在（-1,1）上恒大于0，此时原函数在该区间上递增，当a<0是时该导数在（-1,1）上恒小于0，此时原函数在该区间上递减。
追问：
那用偶函数呢？
回答：
函数奇偶性法：该函数明显为奇函数，奇函数的函数图像几何特征就是图像关于原地对称，故关于原点对称的两个区间单调性相同，所以只要分析（0,1）的情况，此时可以用基本不等式求解，X^2+1不小于2X且等号在X=1时成立（X=-1的情况已经排除因为-1不属于0到1的区间），代入原函数得原函数的最值是a/2，又原函数在X=0处时函数值为0，当a为正数时，易知原函数在（0,1）上递增，当a为负数时，同知原函数在（0,1）上递减，综合函数奇偶性性质得原函数在（-1，0）（0，1）上要么都递增(a>0)，要么都递减(a<0).