Question

若f'(x)在(a,b)内有界,则f(x)在(a,b)内有界

设 f(x) 在 (a,b) 上可导,若 f'(x) 在 (a,b) 上有界,则 f(x) 在 (a,b) 上有界
问命题是否正确?正确说明理由,错误举出反例

Answer 1

正确，简单计算一下即可。

Answer 2

正确
因为f(x) 在 (a,b) 上可导,所以f(x) 在 (a,b) 上连续,对任意x0∈（a,b）,f(x0)存在
根据拉格朗日中值定理,f(x)=f(x0)+f'（θ）(x-x0),（其中θ位于x与x0之间）由 f'(x)有界,设|f'(x)|≤M,可推出f（x）≤f(x0)+M(x-x0),即f（x）有界