Question

二项式定理常见的解题策略

Answer 1

二项式定理有关问题，是中学数学中的一个重要知识点，在历年的高考中几乎每年都有涉及. 因此掌握二项式定理问题的常见题型及其解题策略是十分必要的. 其考试题型主要有：求展开式中指定的项、求展开式中某一项的系数或二项式系数、求展开式中的系数和等，其难度不会太大，但题型可能较灵活．在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，其试题难度属中档题.

使用情景：求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数
解题步骤：

第一步 首先求出二项展开式的通项；
第二步 根据已知求出展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数；
第三步 得出结论.
例1. 展开式中第3项的二项式系数为（ ）
A．6 B．-6 C．24 D．-24
【答案】A
【解析】第三项的二项式系数为 ,选 .

【总结】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可。

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.

使用情景：二项式系数的性质与各项系数和
解题步骤：

第一步 观察题意特征，合理地使用赋值法；
第二步 区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；
第三步 得出结论.

例2

(1)设 ，若 ，则展开式中系数最大的项是(　　)
A． B． C． D．
(2)若 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为________．
【答案】 (1)B；(2)56.
【解析】

（1） ,

令 得

令 ，则

又 的展开式二项式系数最大项的系数最大，

的展开式系数最大项为

（2）由题意知，

,

当 时， 的系数为

【总结】

(1)第(1)小题求解的关键在于赋值，求出 与n的值；第(2)小题在求解过程中，常因把n的等量关系表示为 ，而求错n的值．

(2)求解这类问题要注意：

①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；

②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.

使用情景：使用二项式定理处理整除问题
解题步骤：

第一步 通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式；
第二步 再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围， ，其中余数 ，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．；
第三步 得出结论.

例3 .设 ，且 ，若 能被13整除，则a＝(　　)
A．0 B．1 C．11 D．12
【答案】D.
【解析】

能被13整除。且 能被13整除，

也能被13整除

因此 可取值12

【总结】：在使用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围， ，其中余数 ，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．