Question

这道反常积分怎么算？

算到了原函数但是算不出答案，想知道最后一步怎么算的

Answer 1

就是取个极限，不困难。

Answer 2

用两次分部积分：
∫e^(-pt)sinwtdt
=e^(-pt)(-coswt)/w-∫(p/w)e^(-pt)*coswtdt
=(-1/w)e^(-pt)coswt-(p/w)[e^(-pt)*(sinwt)/w-∫(-p/w)e^(-pt)*sinwt],
整理得[1+p^2/w^2]∫e^(-pt)sinwtdt=(1/w^2)[-we^(-pt)coswt-pe^(-pt)sinwt],
……
p>0时e^(-pt)-->0,|wcoswt+psinwt|≤|w|+|p|为有界量，所以分子-->0,(t-->+∞);
t=0时e^(-pt)=1,sinwt=0,coswt=1.
可以吗？

Answer 3

反常积分就是在瑕点处要取极限，t趋于无穷大时e^(-pt)趋于0，带进去就得到答案了

Answer 4

p > 0 时，只要注意 lim<t→+∞>e^(-pt) = 0， 代入即得结果。