Question

已知A=，b=，则线性方程组Ax=b，（1）当a=？，方程组无解，当a？时，方程组有唯一解，且解为？

（3）当a？时，方程组有无穷多解，且通解为？
b=（-8 13 3 11）^T
A=1 3 -14 -14
-2 -5 24 25
-1 -1 a+6 8
-5 -5 a+30 a^2-5a+40

Answer 1

写出增广矩阵为
1 3 -14 -14 -8
-2 -5 24 25 13
-1 -1 a+6 8 3
-5 -5 a+30 a^2-5a+40 11 第1行加上第3行，第2行减去第3行×2，第4行减去第3行×5
～
0 2 a-8 -6 -5
0 -3 12-2a 9 7
-1 -1 a+6 8 3
0 0 -4a a^2-5a -4 第3行乘以-1，第2行加上第1行×2，交换第1和第3行
～
1 1 -a-6 -8 -3
0 -3 12-2a 9 7
0 2 a-8 -6 -5
0 0 -4a a^2-5a -4 第2行加上第3行×2
～
1 1 -a-6 -8 -3
0 1 -4 -3 -3
0 2 a-8 -6 -5
0 0 -4a a^2-5a -4 第1行减去第2行，第3行减去第2行×2
～
1 0 -a-2 -5 0
0 1 -4 -3 -3
0 0 a 0 1
0 0 -4a a^2-5a -4 第4行加上第3行×4
～
1 0 -a-2 -5 0
0 1 -4 -3 -3
0 0 a 0 1
0 0 0 a^2-5a 0

(1)
显然只有在a=0时，系数矩阵的秩才会小于增广矩阵的秩，
所以a=0时，方程组无解

(2)
有唯一解的话，
a^2-5a≠0，所以解得a≠5或0
那么化简为
1 0 -a-2 -5 0
0 1 -4 -3 -3
0 0 a 0 1
0 0 0 1 0 第3行除以a，第1行加上第4行×5，第2行加上第4行×3
～
1 0 -a-2 0 0
0 1 -4 0 -3
0 0 1 0 1/a
0 0 0 1 0 第1行加上第3行×(a+2)，第2行加上第3行×4
～
1 0 0 0 1+2/a
0 1 0 0 -3+4/a
0 0 1 0 1/a
0 0 0 1 0
解得x=(1+2/a，-3+4/a，1/a，0)^T

(3)
有无穷多解的话，
a^2-5a=0且a≠0
即a=5
那么化简为
1 0 -7 -5 0
0 1 -4 -3 -3
0 0 5 0 1
0 0 0 0 0 第3行除以5
～
1 0 -7 -5 0
0 1 -4 -3 -3
0 0 1 0 1/5
0 0 0 0 0 第1行加上第3行×7，第2行加上第3行×4
～
1 0 0 -5 7/5
0 1 0 -3 -11/5
0 0 1 0 1/5
0 0 0 0 0
秩为3，所以通解有4-3=1个向量
得到通解向量为(5,3,0,1)^T，特解则为(7/5,-11/5,1/5,0)^T
所以解得
X=c*(5,3,0,1)^T+(7/5,-11/5,1/5,0)^T，C为常数