Question

几道高数题目:1、设函数f(x)=cosx/(1+sinx),求f’(π/4) 2、求极限Limx→∞[ (X+1)/（X-1）] ^x+2

1、设函数f(x)=cosx/(1+sinx),求f’(π/4)
2、求极限Limx→∞[ (X+1)/（X-1）] ^x+2
3、做函数的图形 y=[（x-1）/（x-2）²]-1

Answer 1

1. ∵f'(x)=[-sin(x)-sin^2(x)-cos^2(x)]/(1+sinx)^2=[-sin(x)-1]/(1+sinx)^2=-1/(1+sinx)

   ∴f'(π/4)=-1/(1+√2/2)=-2/(2+√2)=-2+√2

2. Lim[x→∞][ (X+1)/（X-1）] ^x+2

   =Limx→∞[ (1+1/x)^x/（1-1/x)^x+2

   =e^2+2

3. 定义域：x≠2  

   y'=[(x-2)^2-2(x-1)(x-2)]/(x-2)^4=[x-2-2x+2]/(x-2)^3=-x/(x-2)^3

   y''=-1/(x-2)^3+3x/(x-2)^4=(2x+2)/(x-2)^4

            (-∞,-1)     -1    (-1,0 )     0         (0,2)    (2,+∞)

   f‘(x)       -           -         -                        +          -

   f''(x)      -                     +                        +          +

   f(x)       减凸     拐点   减凹 极小-5/4  增凹        减凹 

   渐近线  y=-1     x=2              如下图：

       

4. 

Answer 2

很可惜，楼上第二题，解错了。