Question

已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0,f(x)=x²-4x.那么不等式f（x+2）＜5的解集

解题过程如下

当x≥0,f(x)=x²-4x
令x²-4x<5
得到-1<x<5
综合得到0<=x<5
f（x）是偶函数
故当x<0时，f（x）=x^2+4x
令x^2+4x<5
得到-5<x<1
综合得到-5<x<0
所以-5<x<5
所以-5<x+2<5
得到-7<x<3
不等式f（x+2）＜5的解集是{x│-7<x<3}

为什么解题过程+2可以先拿出来？那这样不就变成了f(x)+2＜5了？求解答

Answer 1

额。。这是不一样的

法一：

可以先换元，令x+2=t，则f(t)=t^2+4t（t<0） f(t)=t^2-4t（t≥0）然后求f(t)<5的值，得到-5<t<5，然后再换回，得到-5<x+2<5，于是不等式f（x+2）＜5的解集是{x│-7<x<3}

关键是要理解函数的定义，函数是一种对应法则，f指某种确定的对应关系

法二：

这种题目也可以通过图像解决，根据已知函数方程作出函数图像。已知为偶函数，所以可得

f(x)=x^2+4x-4x （x≥0），f（x）=x^2+4x （x<0），在各自定义域内作出图像，如下图

这样一目了然，稍微计算下得到，-5<x<5时f（x）<5，然后用x+2换掉x，得到-7<x<3

Answer 2

答：

这不是把+2先拿出来，而是因为：
所以-5<x<5——这之前的解答都是为了解答出f(x)<5

得到f(x)<5的解集为-5<x<5
则f(x+2)<5就相当于t=x+2时f(t)<5
那么-5<t<5
所以：-5<x+2<=5
解得：-7<x<3

Answer 3

当x≥0,f(x)=x²-4x
令x²-4x<5
得到-1<x<5
综合得到0<=x<5
f（x）是偶函数
故当x<0时，f（x）=x^2+4x
令x^2+4x<5
得到-5<x<1
综合得到-5<x<0
所以-5<x<5
所以-5<x+2<5
得到-7<x<3
不等式f（x+2）＜5的解集是{x│-7<x<3}