Question

设曲面∑为平面x+y+z=1在第一卦限的部分，则∫∫∑xds=

Answer 1

解答：

也可以用对称性直接做

原积分 = 3∫∫z dx dy

= 3∫[0,1]∫[0,-x+1]1-x-y dy dx

= 3∫[0,1] -（1/2)(1-x-y)^2|[0,-x+1] dx

= 3∫[0,1](1/2)[(1-y)^2 dx

= (-1/2)(1-y)^3|[0,1]

= 1/2

函数的积分

表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。

Answer 2