Question

数学分析的证明问题~

求详细解释分析证明 谢谢！

Answer 1

令α’=inf f(x), α‘‘=inf g(x), α=inf[f(x)g(x)]，β=sup f(x)

由下确界定义，对∀ε>0，∃x∈D使f(x)g(x)<α+ε
因为α’和α‘’是f(x)和g(x)在D上的下确界
故对任何x∈D，均有f(x)≥α‘，g(x)≥α’‘，又f(x),g(x)非负，所以f(x)g(x)≥α’α‘’
所以α+ε>f(x)g(x)≥α’α‘’，由ε任意性，α≥α‘α’‘
即inf[f(x)g(x)]≥inf f(x) inf g(x)
(详细：若α<α’α‘’，则由ε任意性，可令ε=α‘α’‘-α>0,这时α+ε=α’α‘’，而由上面下确界定义得出α+ε>α’α‘’,即α’α‘’>α’α‘’，这是一个矛盾，故只能α≥α‘α’‘)

由α‘’是g(x)在D上的下确界，对∀ε>0,∃x∈D，使g(x)-ε<α‘’
所以βα‘’>βg(x)-βε≥f(x)g(x)-βε≥α-βε，其中最后一个不等号用到α是f(x)g(x)在D上的下确界
由ε任意性和β有界性，α≤βα‘’，即inf[f(x)g(x)]≤sup f(x) inf g(x)