Question

已知g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,f(x)+g(x)是奇函数且当x∈[-1,正无穷]时

已知g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,f(x)+g(x)是奇函数且当x∈[-1,正无穷]时,f(x)的最小值是1,求f(x)的表达式

Answer 1

因为f（x）为二次函数，设为f（x）=ax²+bx+c
首先，f(x)+g(x)是奇函数，设这个奇函数为T（x）
所以T（0）=0，又g(x)=-x²-3
代入得 T（0）=f（0）+g（0）=c-3=0
∴c=3 → f（x）=ax²+bx+3
奇函数T（x）有T(1)+T(-1)=0
代入得：T(1)+T(-1)=f（1）+g（1）+f（-1）+g（-1）
=a+b+3-4+a-b+3-4
=2a-2
=0
∴a=1 →f（x）=x²+bx+3 图像开口向上，对称轴为x=-b/2
（结合图像分类讨论）
①对称轴在-1左边，即x=-b/2＜-1时→b＞2
图像在x∈[-1,正无穷]最小为x=-1时得到，
代入f（-1）=1-b+3=1， b=3＞2，成立；
②对称轴在[-1,正无穷]之间时，-1≤-b/2≤2时→2≥b≥-4
图像x=-b/2时最小
代入f（-b/2）=b²/4-b²/2+3=-b²/4+3=1→b=±2√2（±2根号2）
又2≥b≥-4， 2√2＞2，舍去，-2√2符合，成立；
③对称轴在2右边，即边x=-b/2＞2时→b＜-4
图像在x∈[-1,正无穷]最小为x=2时得到，
代入f（2）=4+2b+3=1b=-3＞-4，舍去。

综上所述，b取值为3或-2√2。

所以f（x）=x²+3x+3 或 f（x）=x²-2√2x+3