Question

请问“已知A={x|x²-3x+2=0},B={x|x²-ax+(a-1)=0},C={x|x²-2x+b=0},若B是A的真子集，

C是A的子集的实数a，b?若存在,求出a,b的所有值；若不存在 请说明理由.

Answer 1

由题有A={1,2}
∵B是A的真子集
∴B为∅或{1}或{2}
分类讨论以上3种情况
①B=∅，△=a²-4(a-1)＜0，无解
②B={1}或B={2}，△=a²-4(a-1)=0解得a=2，带入有B={1}，满足
又∵C是A的子集
∴C={1,2}或C={1}或C={2}或C=∅
∵1+2≠2x2
∴C≠{1,2}
下面分类讨论
①C=∅，△=4-4b＜0解得b＞1
②C={1}或C={2}，△=4-4b=1解得b=1，带入有C={1}，满足
综上有a=2，b≥1

Answer 2

当B=∅时，x²-ax+a-1=0
△=a²-4(a-1)=(a-2)²＜0，此时a无解
当B≠∅时，x²-3x+2=0可化为（x-1）（x-2）=0
所以A={1,2}
当B={1}时，△=0且1-a+a-1=0，此时a=2
当B={2}时，△=0且4-2a+a-1=0，此时无解
当B={1，2}时，△>0且1-a+a-1=0，4-2a+a-1=0，此时a=3
综上，得a=2或a=3

或
因为x^2-ax+a-1=（x-1）[x-（a-1）]
集合A={x|x^2-3x+2=0}={1,2}
B={x|x^2-ax+a-1=0}={1,a-1}
由AUB=A得
a-1=1或a-1=2
得a=2或a=3