Question

矩阵的初等因子与不变因子的关系是怎样的？

Answer 1

初等因子与不变因子之间的关系参考介绍如下：

初等因子的定义

1、初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量，它们的理论都在若尔当标准形的计算问题方面发挥着重要的作用。

2、把矩阵A的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因子方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A 的初等因子。

初等因子与不变因子的关系

1、初等因子、不变因子、行列式因子都是λ矩阵的概念,所谓λ矩阵就是矩阵的元素aij（λ）都是数域p上的λ多项式。k（1≤k≤r)阶行列式因子为所有k阶子式的最大公因子,就是一个首一的多项式。不变因子是smith标准形的对角元素。

2、初等因子就是把不变因子展成一次因式的幂的乘积后,形如（λ－λi）^ni的因子。

3、不变因子是前后两个行列式因子的商，也是Smith标准形的对角元。初等因子是把不变因子分解成不同的不可约多项式的幂次的乘积。

结论

1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，则它们就有相同的初等因子；反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子.

2、两个同级数字矩阵相似令它们有相同的初等因子.

可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量。