Question

如图所示，在直角坐标系xOy中，一次函数y 1 =k 1 x+b（k≠0）的图象与反比例函数 （x＞0）的图象交于A（

如图所示，在直角坐标系xOy中，一次函数y 1 =k 1 x+b（k≠0）的图象与反比例函数 （x＞0）的图象交于A（1，4），B（3，m）两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）在第一象限内，x取何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值；（3）求△AOB的面积．

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Answer 1

（1）y 1 =﹣ x+  （2）x取1＜x＜3 （3）

试题分析：（1）把A（1，4）代入数 即可求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入即可求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式； （2）根据图象和A、B的坐标即可得出答案； （3）过A作AE⊥ON于E，过B作BF⊥OM于F，求出M、N的坐标，根据S △ AOB =S △ NOM ﹣S △ AON ﹣S △ BOM 代入即可求出△AOB的面积． 解：（1）把A（1，4）代入数 （x＞0）得：4= ， 解得：k 2 =4， 即反比例函数的解析式是：y 2 = ， 把B（3，m）代入上式得：m= ， 即B（3， ）， 把A、B的坐标代入y 1 =k 1 x+b（k≠0）得： ， 解得：k=﹣ ，b= ， ∴一次函数的解析式是：y 1 =﹣ x+ ； （2）从图象可知：在第一象限内，x取1＜x＜3时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值； （3）过A作AE⊥ON于E，过B作BF⊥OM于F， ∵A（1，4），B（3， ）， ∴AE=1，BF= ， ∵设直线AB（y 1 =﹣ x+ ）交y轴于N，交x轴于M， 当x=0时，y= ， 当y=0时，x=4， 即ON= ，OM=4， ∴S △ AOB =S △ NOM ﹣S △ AON ﹣S △ BOM = × ×4﹣ × ×1﹣ ×4× = ． 点评：本题考查了三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式等知识点，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．