Question

已知函数f（x）=1+ln(x+1)x（x＞0）（1）当x＞0时，f（x）＞kx+1恒成立，求正整数k的最大值；（2）求证：

已知函数f（x）=1+ln(x+1)x（x＞0）（1）当x＞0时，f（x）＞kx+1恒成立，求正整数k的最大值；（2）求证：（1+1?2）（1+2?3）（1+3?4）…（1+n（n+1））＞e2n-3（n∈N*）．

Answer 1

（1）∵f（x）=

1+ln(x+1)

x

（x＞0）
∴f（x）＞

k

x+1

可化为

1+ln(x+1)

x

＞

k

x+1

，
即

1+ln(x+1)

x

（x+1）＞k，
令f（x）=

1+ln(x+1)

x

（x+1），
则f′(x)＝

[1+ln(x+1)+1]x?x?1?(x+1)ln(x+1)

x2

=

x?1?ln(x+1)

x2

，
令h（x）=x-1-ln（x+1），
则h′(x)＝1?

1

x+1

，
∵x＞0，
∴h′(x)＝1?

1

x+1

＞0，
∴f′（x）在（0，+∞）上单调递增，
又∵f′（2）=

1?ln3

4

＜0，f′（3）=

2?ln4

9

＞0，
∴在（2，3）上存在x₀使f′（x₀）=0，
即ln（x₀+1）=x₀-1，
当x∈（0，x₀）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（x₀，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f(x)≥f(x0)＝

1+ln(x0+1)

x0

(x0+1)
=x₀+1，
∵3＜x₀+1＜4，
∴正整数k的最大值是3．
（2）由（1）可知，

1+ln(x+1)

x

（x+1）＞3，
∴ln(x+1)＞

3x

x+1

?1=2-

3

x+1

＞2-

3

x

．
∴ln（1+n（n+1））＞2-

3

n(n+′1)

．
∴ln（1+1?2）+ln（1+2?3）+ln（1+3?4）…+ln（1+n（n+1））
＞2-

3

1×2

+2-

3

2×3

+…+2-

3

n(n+1)

=2n-3（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

）
=2n-3（

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2n-3（1-

1

n+1

）
＞2n-3．
∴（1+1?2）（1+2?3）（1+3?4）…（1+n（n+1））＞e^2n-3．