Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D为边AB的中点，DE⊥AB交边AC于点E，（1）AE______EB（填

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D为边AB的中点，DE⊥AB交边AC于点E，（1）AE______EB（填“＞”、“=”、“＜”）（2）求AE的长；（3）如图2，点P从点B出发以每秒1个单位长度向点C运动；同时点Q从点C出发以每秒2个单位长度向点A运动，设运动时间为t秒．①在点P、Q运动过程中，四边形CPDQ的面积是否发生变化，并说明理由；②当t为何值时，△DEQ为等腰三角形．

Answer 1

（1）∵点D为边AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴AE=EB；
故答案为：=；

（2）设AE=BE=x，则CE=AC-AE=8-x，
在Rt△BCE中，BC²+CE²=BE²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
所以AE=5；

（3）①如图2，连接CD，∵点D为边AB的中点，
∴点D到AC、BC的距离分别为

1

2

BC=

1

2

×4=2，

1

2

AC=

1

2

×8=4，
∴S_{四边形CPDQ}=S_△CDP+S_△CDQ，
=

1

2

×（4-t）×4+

1

2

×2t×2，
=8-2t+2t，
=8，
所以，四边形CPDQ的面积不发生变化；

②如图3，由勾股定理得，AB=

AC2+BC2

=

82+42

=4

5

，
∵点D为边AB的中点，
∴AD=

1

2

AB=

1

2

×4

5

=2

5

，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠C=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AE

AB

=

AD

AC

，
即

DE

4

=

AE

4 5

=

2 5

8

，
解得DE=

5

，AE=5，
∴CE=AC-AE=8-5=3，
若DE=EQ，则CQ=CE-EQ=3-

5

，
或CQ=CE+EQ=3+

5

，
此时，t=

3? 5

2

或t=

3+ 5

2

，
若DE=DQ，过点D作DF⊥AC于F，
∵点D为边AB的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴CF=

1

2

AC=

1

2

×8=4，
∴EF=CF-CE=4-3=1，
∴CQ=4+1=5，
此时，t=

5

2

，
综上所述，t=

3? 5

2

或

3+ 5

2

或

5

2

时，△DEQ为等腰三角形．