已知a,b,c∈R,求证√a^2+b^2+√b^2+c^2+√c^2+a^2≥√2(a+b+c)
展开全部
首先
基本不等式
中有
平方平均值≥
算术平均值
即a,b>0时有
√[(a^2+b^2)/2]≥(a+b)/2
当且仅当a=b时不等式取等号
(也就是Cauchy不等式的特例)
回到原题上
(1)当a,b,c其中有一个或一个以上的非正时,容易证明不等式成立
(不妨设a≥b≥c,再分情况简单讨论一下即可
(2)当a,b,c全为正时
利用最前面提到的不等式,即
√(a^2+b^2)≥(a+b)/√2
所以
左边≥[(a+b)+(b+c)+(c+a)]/√2
=2(a+b+c)/√2
=√2(a+b+c)
得证..
基本不等式
中有
平方平均值≥
算术平均值
即a,b>0时有
√[(a^2+b^2)/2]≥(a+b)/2
当且仅当a=b时不等式取等号
(也就是Cauchy不等式的特例)
回到原题上
(1)当a,b,c其中有一个或一个以上的非正时,容易证明不等式成立
(不妨设a≥b≥c,再分情况简单讨论一下即可
(2)当a,b,c全为正时
利用最前面提到的不等式,即
√(a^2+b^2)≥(a+b)/√2
所以
左边≥[(a+b)+(b+c)+(c+a)]/√2
=2(a+b+c)/√2
=√2(a+b+c)
得证..
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询