已知a,b,c∈R,求证√a^2+b^2+√b^2+c^2+√c^2+a^2≥√2(a+b+c)

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猴白蓖77
2020-09-07 · TA获得超过1061个赞
知道答主
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首先
基本不等式
中有
平方平均值≥
算术平均值
即a,b>0时有
√[(a^2+b^2)/2]≥(a+b)/2
当且仅当a=b时不等式取等号
(也就是Cauchy不等式的特例)
回到原题上
(1)当a,b,c其中有一个或一个以上的非正时,容易证明不等式成立
(不妨设a≥b≥c,再分情况简单讨论一下即可
(2)当a,b,c全为正时
利用最前面提到的不等式,即
√(a^2+b^2)≥(a+b)/√2
所以
左边≥[(a+b)+(b+c)+(c+a)]/√2
=2(a+b+c)/√2
=√2(a+b+c)
得证..
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