Question

锐角△ABC中，BC＝6, 两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长

锐角△ABC中，BC＝6, 两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y ＞0）,当x ＝ ，公共部分面积y最大，y最大值 ＝ ,

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Answer 1

公共部分分为三种情形：在三角形内；刚好一边在BC上，此时为正方形；正方形有一部分在三角形外，此时为矩形．显然在内部时的面积比刚好在边上时要小，所以需比较后两种情形时的面积大小．为正方形时可求出面积的值，为矩形时需求面积表达式再求最大值． 解：公共部分分为三种情形：在三角形内；刚好一边在BC上，此时为正方形；正方形有一部分在三角形外，此时为矩形．显然在内部时的面积比刚好在边上时要小，所以需比较后两种情形时的面积大小． （1）求公共部分是正方形时的面积， 作AD⊥BC于D点，交MN于E点， ∵BC=6，S △ ABC =12， ∴AD=4， ∵MN∥BC， ∴ 即 ， 解得x=2.4， 此时面积y=2.4 2 =5.76． （2）当公共部分是矩形时如图所示： 设DE=a，根据 得 ， 所以a=4- x，公共部分的面积y=x（4- x）=- x 2 +4x， ∵- ＜0， ∴y有最大值， 当x=- =3时，y 最大值 = =6． 综上所述，当x=3时，公共部分的面积y最大，最大值为6．