Question

如右图，∠POQ=20°，A为OQ上的点，B为OP上的一点，且OA=1，OB=2，在OB上取点A1，在AQ上取点A2，设l=AA1+

如右图，∠POQ=20°，A为OQ上的点，B为OP上的一点，且OA=1，OB=2，在OB上取点A1，在AQ上取点A2，设l=AA1+A1A2+A2B，求l的最小值．

Answer 1

解：作OQ关于OP的对称射线OM，A关于OP的对称点A′，
∴AA₁=A′A₁，
则AA₁+A₁A₂=A′A₁+A₁A₂，
根据“两点之间线段最短”，
当A′，A₁，A₂在一条直线时，AA₁+A₁A₂最小=A′A₂，
同理，作OM关于OQ的对称射线ON，A′关于OQ的对称点A″，
∴A′A₂=A″A₂，
则A₂B=A″A₂+A₂B，
根据“两点之间线段最短”，
当A″，A₂，B在一条直线上时，A′A₂+A₂B最小=A″B，
由对称可知：∠POQ=∠POM=20°，即∠MOQ=40°，
再由对称可知：∠NOQ=∠MOQ=40°，且OA=OA′=OA″=1，
在△OA″B，∠A″OB=∠POQ+∠NOQ=20°+40°=60°，
取OB的中点E，连接A″E，如图所示：
则OA″=OE=BE=

1

2

OB=1，
又∠A″OB=60°，
∴△OA″E为等边三角形，
∴∠OEA″=60°，A″E=1，即A″E=BE，
∴∠BA″E=∠B，
又∠OEA″是△A″EB的外角，
∴∠OEA″=∠BA″E+∠B=2∠B=60°，
∴∠B=30°，
∴∠OA″B=180°-60°-30°=90°，
∴△OA″B为直角三角形，
A″B=

OB2?OA″2

=

3

，
则l=AA₁+A₁A₂+A₂B的最小值为

3

．