Question

已知函数f（x）=ex（x+1）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若对于任意的x∈

已知函数f（x）=ex（x+1）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若对于任意的x∈（-∞，0），都有f（x）＞k，求k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=e^x（x+1），
∴f′（x）=e^x（x+1）+e^x=e^x（x+2），
∴f′（0）=e⁰?（0+2）=2，
又f（0）=1，
∴曲线曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：
y-1=2（x-0），即2x-y+1=0；
（Ⅱ）令f′（x）=0，得x=-2，
当x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

∴f（x）在（-∞，-2）上递减，在（-2，0）上递增，
∴f（x）在（-∞，0）上的最小值是f（-2）=-e^-2．
∴-e^-2＞k，即k＜-e^-2．
∴k的取值范围是（-∞，-e^-2）．