Question

函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（x∈R）的图象经过原点，且f（-1）=2和f（1）=-2分别是函数f（x）的极大值和极

函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（x∈R）的图象经过原点，且f（-1）=2和f（1）=-2分别是函数f（x）的极大值和极小值．（Ⅰ）求a，b，c，d；（Ⅱ）过点A（1，-3）作曲线y=f（x）的切线，求所得切线方程．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f（x）的图象经过原点，
∴f（0）=d=0．
∵f（-1）=2和f（1）=-2分别是函数f（x）的极大值和极小值．
∴f'（x）=3ax²+2bx+c=3a（x+1）（x-1）=3ax²-3a，
∴b=0，c=-3a，
∴f（x）=ax³-3ax，
又∵f（-1）=2，f（1）=-2，
∴a=1
经检验，a=1，b=0，c=-3，d=0
即：f（x）=x³-3x．
（Ⅱ）设切点为M(x0，x03?3x0)．
则切线方程为：y?(x03?3x0)＝(3x02?3)(x?x0)，
把点A（1，-3）代入可得?3?(x03?3x0)＝(3x02?3)(1?x0)，
即：2x03?3x02＝0，
解得x₀=0或x0＝

3

2

．
∴切线为y=-3x和y＝

15

4

x?

27

4

．