Question

设f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）（Ⅰ）f（x）的图象关于原点对称，当x=12时，f（x）的极小值为-1，求f（x

设f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）（Ⅰ）f（x）的图象关于原点对称，当x=12时，f（x）的极小值为-1，求f（x）的解析式．（Ⅱ）若a=b=d=1，f（x）是R上的单调函数，求c的取值范围．

Answer 1

：（I）因为图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，所以b=0，d=0；
可得f（x）=ax³+cx，因此f'（x）=3ax²+c
∵当x=

1

2

时，f（x）的极小值为-1，
∴f′(

1

2

)=

3a

4

+c=0，且f（

1

2

）=

1

8

a+

1

2

c=-1
解之得a=4，c=-3，得f（x）=4x³-3x
∴所求函数的解析式为f（x）=4x³-3x；
（Ⅱ）∵a=b=d=1，∴f（x）=ax³+bx²+cx+d=x³+x²+cx+1
∵f（x）是R上的单调函数，∴f'（x）在R上恒为非负或者恒为非正
∵f'（x）=3x²+2x+c，
∴△=4-12c≤0，解之得c≥

1

3

．可得实数c的取值范围为[

1

3

，+∞）