Question

设椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为 ,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .(1)

设椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为 ,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .(1)求椭圆的方程;(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若 · + · =8,求k的值.

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Answer 1

(1) + =1   (2) k=±

解:(1)设F(-c,0),由 = ,知a= c. 过点F且与x轴垂直的直线为x=-c, 代入椭圆方程有 + =1, 解得y=± , 于是 = ,解得b= , 又a 2 -c 2 =b 2 ,从而a= ,c=1, 所以椭圆的方程为 + =1. (2)设点C(x 1 ,y 1 ),D(x 2 ,y 2 ), 由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1). 由方程组 消去y,整理得(2+3k 2 )x 2 +6k 2 x+3k 2 -6=0, 则x 1 +x 2 =- ,x 1 x 2 = . 因为A(- ,0),B( ,0), 所以 · + · =(x 1 + ,y 1 )·( -x 2 ,-y 2 )+(x 2 + ,y 2 )·( -x 1 ,-y 1 )=6-2x 1 x 2 -2y 1 y 2 =6-2x 1 x 2 -2k 2 (x 1 +1)(x 2 +1) =6-(2+2k 2 )x 1 x 2 -2k 2 (x 1 +x 2 )-2k 2 =6+ . 由已知得6+ =8,解得k=± .