Question

已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的离心率为 ，与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A、B两点．若

已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的离心率为 ，与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A、B两点．若 ＝3 ，则k＝________．

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Answer 1

k＝

定点F分线段AB成比例，从而分别可以得出A、B两点横坐标之间关系式、纵坐标之间关系式，再把A、B点的坐标代入椭圆方程 ＝1，四个方程联立方程组，解出根，得出A、B两点的坐标，进而求出直线AB的方程． 由已知e＝ ，所以a＝2b， 所以a＝ c，b＝ .椭圆方程 ＝1变为 x 2 ＋3y 2 ＝c 2 . 设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，又 ＝3 ， 所以(c－x 1 ，－y 1 )＝3(x 2 －c，y 2 )，所以 所以 ＋3 ＝c 2 ，① ＋3 ＝c 2 ，② ①－9×②，得 (x 1 ＋3x 2 )(x 1 －3x 2 )＋3(y 1 ＋3y 2 )(y 1 －3y 2 )＝－8c 2 ，所以 ×4c(x 1 －3x 2 )＝－8c 2 ， 所以x 1 －3x 2 ＝－ c，所以x 1 ＝ c，x 2 ＝ c.从而y 1 ＝－ c，y 2 ＝ c， 所以A ，B ，故k＝ .

Answer 2

设离心率为e，斜率为k，AF/BF=m（m＞1）。公式e=根号下（1+k平方）乘以（m-1）/（m+1），代入e=（根3）/2，m=3，得到k方=2