Question

在平面直角坐标系xoy中，以C（1，-2）为圆心的圆与直线 x+y+3 2 +1=0 相切． （I）求圆C的

在平面直角坐标系xoy中，以C（1，-2）为圆心的圆与直线 x+y+3 2 +1=0 相切． （I）求圆C的方程；（II）是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设圆的方程是（x-1） 2 +（y+2） 2 =R 2 ，依题意得，所求圆的半径 R=| 1-2+3 2 +1 2 |=3 ， ∴所求的圆方程是（x-1） 2 +（y+2） 2 =9． （2）设存在满足题意的直线l，设此直线方程为y=x+m， 设直线l与圆C相交于A，B两点的坐标分别为（x 1 ，y 1 ），（x 2 ，y 2 ），依题意有OA⊥OB， 即k OA ?k OB =-1，∴ y 1 x 1 ? y 2 x 2 =-1 ，∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =0． 因为 y=x+m (x-1 ) 2 +(y+2 ) 2 =9 即 y=x+m x 2 + y 2 -2x+4y-4=0 ，消去y得：2x 2 +2（m+1）x+m 2 +4m-4=0， 所以， x 1 + x 2 =-(m+1)， x 1 x 2 = m 2 +4m-4 2 ． ∵ x 1 x 2 + y 1 y 2 =0  ， y 1 = x 1 +m ， y 2 = x 2 +m ， ∴ x 1 x 2 +( x 1 +m)( x 2 +m)=0， 即2 x 1 x 2 +m( x 1 + x 2 )+ m 2 =0 ， ∴ m 2 +3m-4=0 ，解得m 1 =-4，m 2 =1， 经检验m 1 =-4，m 2 =1都满足△＞0，都符合题意，∴存在满足题意的直线l：l 1 ：y=x-4，l 2 ：y=x+1．