Question

已知函数f（x）=ex，g（x）=lnx+1，对?a∈R，?b∈（0，+∞），使得f（a）=g（b），则b-a的最小值为（　　

已知函数f（x）=ex，g（x）=lnx+1，对?a∈R，?b∈（0，+∞），使得f（a）=g（b），则b-a的最小值为（　　）A．1B．2C．2e-1D．e2-1

Answer 1

根据题意，f（a）=g（b），
即e^a=lnb+1=ln（be），
∴a=ln（ln（be））；
∴b-a=b-ln（ln（be））
=lne^b-ln（ln（be））
=ln

eb

ln(be)

=ln

eb

lnb+1

；
∴设h（x）=

eb

lnb+1

，
则h′（x）=

eb(lnb+1? 1 b )

(lnb+1)2

；
令h′（x）=0，得lnb+1-

1

b

=0，
当b=1时，h′（x）=0；
此时a=ln（ln（1?e））=0，
∴b-a的最小值是1-0=1．
故选：A．