Question

已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝2n+1an(n+12)an+2n，n∈N*（1）设bn＝2nan，求数列bn的通项公式．（2）设c

已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝2n+1an(n+12)an+2n，n∈N*（1）设bn＝2nan，求数列bn的通项公式．（2）设cn＝an?(n2+1)?1，dn＝2ncn?cn+1，求数列{dn}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）由bn＝

2n

an

，bn+1＝

2n+1

an+1

，得到an＝

2n

bn

，an+1＝

2n+1

bn+1

，b1＝

2

a1

＝1．
代入an+1＝

2n+1an

(n+ 1 2 )an+2n

，化为bn+1?bn＝n+

1

2

．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（n-1）+

1

2

+（n-2）+

1

2

+…+1+

1

2

+1
=

n(n?1)

2

+

n?1

2

+1
=

n2+1

2

．
（2）由（1）可得an＝

2n

bn

=

2n+1

n2+1

，
∴cn＝

2n+1

n2+1

×(n2+1)?1=2ⁿ⁺¹-1．
∴dn＝

2n

cncn+1

=

2n

(2n+1?1)(2n+2?1)

=

1

2

(

1

2n+1?1

?

1

2n+2?1

)，
∴S_n=

1

2

[(

1

22?1

?

1

23?1

)+(

1

23?1

?

1

24?1

)+…+(

1

2n+1?1

?

1

2n+2?1

)]
=

1

2

(

1

3

?

1

2n+2?1

)
=

1

6

?

1

2n+3?2

．