Question

如图1，以矩形OABC的两边OA和OC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，A点的坐标为（3，0），C点的坐

如图1，以矩形OABC的两边OA和OC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，A点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，4）．将矩形OABC绕O点逆时针旋转，使B点落在y轴的正半轴上，旋转后的矩形为OA1B1C1，BC，A1B1相交于点M．（1）求点B1的坐标与线段B1C的长；（2）将图1中的矩形OA1B1C1沿y轴向上平移，如图2，矩形PA2B2C2是平移过程中的某一位置，BC，A2B2相交于点M1，点P运动到C点停止．设点P运动的距离为x，矩形PA2B2C2与原矩形OABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如图3，当点P运动到点C时，平移后的矩形为PA3B3C3．请你思考如何通过图形变换使矩形PA3B3C3与原矩形OABC重合，请简述你的做法．

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

Answer 1

（1）如图1，因为OB₁=OB=

32+42

=5，
所以点B₁的坐标为（0，5）．
因为C（0，4），所以OC=4，
则B₁C=OB₁-OC=5-4=1．

（2）在矩形OA₁B₁C₁沿y轴向上平移到P点与C点重合的过程中，点A₁运动到矩形OABC的边BC上时，
重叠部分的面积为三角形PA₂C的面积，A₂C=

3×4

5

=

12

5

，又A₂P=3，
根据勾股定理得：CP=

9

5

，即4-x=

9

5

求得P点移动的距离x＝

11

5

．
当自变量x的取值范围为0≤x＜

11

5

时，
如图2，由△B₂CM₁∽△B₂A₂P，
得CM₁=

3+3x

4

，此时，y=S_△B2A2P-S_△B2CM1=

1

2

×3×4-

1

2

×

3+3x

4

（1+x），
即y=-

3

8

（x+1）²+6（或y=-

3

8

x²-

3

4

x+

45

8

）．
当自变量x的取值范围为

11

5

≤x≤4时，
求得y=S_△PCM1′=

2

3

（x-4）²（或y=

2

3

x²-

16

3

x+

32

3

）．

（3）答案：
①把矩形PA₃B₃C₃沿∠BPA₃的角平分线所在直线对折．
②把矩形PA₃B₃C₃绕C点顺时针旋转，使点A₃与点B重合，再沿y轴向下平移4个单位长度．
③把矩形PA₃B₃C₃绕C点顺时针旋转，使点A₃与点B重合，再沿BC所在的直线对折．
④把矩形PA₃B₃C₃沿y轴向下平移4个单位长度，再绕O点顺时针旋转，使点A₃与点A重合．
提示：本问只要求整体图形的重合，不必要求图形原对应点的重合．