Question

如图1，在边长为6cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折

如图1，在边长为6cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合于B，构成一个三棱锥（如图2）．（Ⅰ）在三棱锥上标注出M、N点，并判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；（Ⅱ）G是线段AB上一点，且AG=λ?AB，问是否存在点G使得AB⊥面EGF，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求多面体E-AFNM的体积．

Answer 1

解答：解：（Ⅰ）因翻折后B、C、D重合，所以MN应是△ABF的一条中位线，
如图所示．
则MN∥平面AEF…（2分）
证明如下：

MN∥AF MN?平面AEF AF?平面AEF

?MN∥平面AEF．…（4分）
（Ⅱ）存在G点，使得AB⊥面EGF，此时λ=1，
因为

AB⊥BE    AB⊥BF BE∩BF=B

?AB⊥面EBF
又G是线段AB上一点，且

AG

=λ

AB

，
∴当点G与点B重合时AB⊥面EGF，此时λ=1．…（8分）
（Ⅲ）因为AB⊥面BEF，
且AB=6，BE=BF=3，
∴VA-BEF=

1

3

?AB?S△BEF=9，…（9分）
又

VE-AFMN

VE-ABF

=

SAFMN

S△ABC

=

3

4

，∨E-AFMN=

27

4

．…（12分）