Question

已知椭圆9x 2 +2y 2 =18上任意一点P，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且 PM

已知椭圆9x 2 +2y 2 =18上任意一点P，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且 PM =2 MQ ，点M的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若过定点F（0，2）的直线l交曲线E于不同的两点G，H（点G在点F，H之间），且满足 FG = 1 2 FH ，求直线l的方程．

Answer 1

（I）设点P（x 0 ，y 0 ）是椭圆上一点，则Q（x 0 ，0），M（x，y） 由已知 PM =2 MQ 得：x 0 =x，y 0 =3y代入椭圆方程得9x 2 +18y 2 =18， 即x 2 +2y 2 =2为曲线E的方程． （II）设G（x 1 ，y 1 ），H（x 2 ，y 2 ）， 当直线GH斜率存在时，设直线GH的斜率为k 则直线GH的方程为：y=kx+2， 代入x 2 +2y 2 =2，得：（ 1 2 +k 2 ）x 2 +4kx+3=0， 由△＞0，解得：k 2 ＞ 3 2 ， x 1 + x 2 = -4k 1 2 + k 2 ， x 1 x 2 = 3 1 2 + k 2 ， ∵ FG =( x 1 ， y 1 -2) ， FH =( x 2 ， y 2 -2) ，又有 FG = 1 2 FH ． ∴ x 1 = 1 2 x 2 ．∴ x 1 + x 2 = -4k 1 2 + k 2 x 1 x 2 = 3 1 2 + k 2 x 1 = 1 2 x 2 化为 ( -8k 3(1+2 k 2 ) ) 2 = 3 1+2 k 2 ，即10k 2 =27． 解得： k 2 = 27 10 ＞ 3 2 ， ∴ k=± 3 30 10 ， ∴直线l的方程为：y= ± 3 30 10 x+2， 当直线GH斜率不存在时，直线的l方程为x=0， 此时 FG = 1 3 FH 与 FG = 1 2 FH 矛盾不合题意． ∴所求直线l的方程为：y= ± 3 30 10 x+2．