Question

如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，

如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的大小是60°．（Ⅰ）求证：直线SA ∥ 平面BDE；（Ⅱ）求直线BD与平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

（I）如图，连接EO， ∵四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点， ∴O是AC的中点， ∵E是侧棱SC的中点， ∴EO是△ASC的中位线， ∴EO ∥ SA， ∵SA?面ASC，EO不包含于面ASC， ∴直线SA ∥ 平面BDE． （II）过点O作CB的平行线作x轴，过O作AB的平行线作y轴，以OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形， O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点， 异面直线SA和BC所成角的大小是60°， ∴SA=4，SO=2 2 ， ∴B（2，2，0），C（-2，2，0），S（0，0，2 2 ），D（-2，-2，0）， ∴ SB =(2，2，-2 2 ) ， SC =(-2，2，-2 2 ) ， BD =(-4，-4，0) ， 设面SBC的法向量为 n =(x，y，z) ， 则 SB ? n =0 ， SC ? n =0 ， ∴ 2x+2y-2 2 z=0 -2x+2y-2 2 z=0 ， ∴ n =(0， 2 ，1) ， 设直线BD与平面SBC所成角为θ， 则sinθ=|cos＜ BD ， n ＞|=| -4 2 4 2 ? 3 |= 3 3 ．